3 逆元及び指数が複素数の場合

最後の(4)は当然全ての自然数$n$に対して成り立つが, この形だと$n$が自然数である必要のないところが重要である. つまり, 二項係数を

$${x \choose k}=\frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}$$ (5)

と考えることで, 複素数$x$に対して$a_k^{(x)}$を自然に定義することができるのである. 試しにこの定義で $\{a_k^{(-1)}\}$が$\{a_k\}$の逆元にならないかと計算してみると, ${-1 \choose k}=(-1)^k$より

$$\begin{eqnarray*} a_0^{(-1)}&=&1 \\ a_1^{(-1)}&=&-a_1 \\ a_2^{(-1)}&=&-a_2+a_1^2 \\ a_3^{(-1)}&=&-a_3+2a_2a_1-a_1^3 \end{eqnarray*}$$

であるから, 例えば $\{a_k\}\{a_k^{(-1)}\}$の$t^3$の係数は

$$(-a_3+2a_2a_1-a_1^3)+a_1(-a_2+a_1^2)+a_2(-a_1)+a_3=0$$

となるなのでうまくいっているようである.

ここで $\{a_k\}\{a_k^{(-1)}\}=1$を証明してもよいが, より一般的に複素数$x,y$に対して成り立つであろう指数法則

$$\{a_k^{(x+y)}\}=\{a_k^{(x)}\}\{a_k^{(y)}\}$$ (6)

を証明する. この式を変形すると,

$$\begin{eqnarray*} \{a_k^{(x+y)}\}=\{a_k^{(x)}\}\{a_k^{(y)}\} &\Longleftrightarro... ...{x \choose \vert\mu\vert}{y \choose \vert\nu\vert}a^{\mu}a^{\nu} \end{eqnarray*}$$

となるが, 左辺と比較するために右辺を$a^{\lambda}$で整理することを考える. 右辺において例えば$a_1a_2a_1$が$a_2a_1a_1$や$a_1a_1a_2$ではなくこの順番で現れる場合だけを考えると,

$${x \choose 0}{y \choose 3}1 \cdot a_1a_2a_1+{x \choose 1}{y ... ...1}a_1a_2 \cdot a_1+{x \choose 3}{y \choose 0}a_1a_2a_1 \cdot 1$$

となる. つまり$a_1a_2a_1$のような$a^{\lambda}$のある順列について考えると, $a^{\mu}$の部分に左$0$個の要素が割り当てられる場合から, $\vert\lambda\vert$個の要素が割り当てられる場合までの$\vert\lambda\vert+1$回右辺に表れる. よって$a^{\lambda}$で整理すれば

$$\sum_{l=0}^{k}\sum_{\mu\vdash l}\sum_{\nu\vdash k-l}{x \choo... ...\vert\lambda\vert}{x \choose l}{y \choose \vert\lambda\vert-l}$$ (7)

となるので, もとの式に代入して係数比較をすると, $\vert\lambda\vert$を$k$で置き換えて

$${x+y \choose k}=\sum_{l=0}^{k}{x \choose l}{y \choose k-l}$$ (8)

という式を証明すればよいことになる. これはVandermondeの畳み込みとして知られているものだが, ここで証明しておく. $x,y$が自然数の場合に正しいことは既に分かっているが, 例えば

$$(1+t)^{x+y}=(1+t)^x(1+t)^y$$

という等式において$t^k$の係数を比較することで得られる. $x,y$が複素数でも成り立つことを証明するには, 両辺を$x$の多項式と考える. $y$が自然数の場合, $x$の$k$次以下の多項式

$${x+y \choose k}-\sum_{l=0}^{k}{x \choose l}{y \choose k-l}$$

は全ての自然数が零点となるので, 恒等的に$0$である. 次に, 全ての自然数$y$について上の多項式は$0$となるから, 係数である$y$の多項式も同様の議論により全て$0$である. よって$x,y$が複素数の場合にでも(8)は成り立ち, 指数法則が証明された.

指数法則が証明されたので後は簡単である. $x$が有理数の場合, 当然$\{a_k\}^x$は$\{a_k^{(x)}\}$によってうまく定義される. また$a_k^{(x)}$は$x$の多項式だから, 多項式の正則性よりこの定義は$x$が複素数の場合に自然に拡張される. つまり, 複素数$x$に対して

$$\{a_k\}^x=\{a_k^{(x)}\}$$ (9)

と定義できるということである.