5 補足

bfpの例を挙げると, Bernoulli多項式はBernoulli数の二項変換で¹⁰, Hermite多項式, Chebyshev多項式, Legendre多項式などは適当に変形すればbfpになる. ただし, 一般的に多項式は二項変換であるという捉え方はされておらず, 二項変換といえば$x=1$の場合のみを指す. この場合の逆変換の式は反転公式とも呼ばれ, 第2種Stirling数の他に完全順列の数を表す公式なども求められる.

$p_n'(x)=np_{n-1}(x)$は微分演算子と$\mathrm{eval}$が交換可能であるということで, また$\mathrm{eval}$を適当に拡張すれば$\{a_n\}$の指数型母関数は $\mathrm{eval}(e^{at})$と表せることになる. $\mathrm{eval}$には様々な応用もあるのだが, この文章の範囲を大きく超え, また筆者も詳しいわけではないので書かなかった.