1 はじめに

ある所で、

$$S_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^{2^i}}$$

は簡単な表示を持つのか, また$S_{\infty}$は無理数あるいは超越数なのか, という質問があって, いろいろ調べてみると[1]に$S_{\infty}$の超越性の証明が載っていたので, それを紹介することにした次第である¹. 簡単な表示については恐らく存在しないと思うが, 詳しいことは今のところ分からない.

確認しておくと, 整数係数の代数方程式(単に代数方程式と呼ぶことにする)

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0 \qquad (a_k\in\mathbb{Z}, a_n\ne0)$$

の解になる数を代数的数と呼び, 特に$n$次既約代数方程式の解を$n$次の代数的数と呼ぶ. 代数的数でないものを超越数と呼ぶ.