0の0乗が1である理由

1素朴な考察

0⁰の値は何であろうか。

x>0では二変数関数x^yが定義されて連続となるので、その原点付近における様子を調べるのが自然である。lim_x→0x^axは常に1となるが、a>0に対して

$\lim_{x\to0}x^{\log a/\log x}=a$

が成り立ち、さらに0<a<1に対して

$\lim_{x\to+0}\left(a^{1/x^2}\right)^x=0, \quad \lim_{x\to-0}\left(a^{1/x^2}\right)^x=\infty$

も成り立つ。つまりx^yは原点付近において「かなり」不連続であり、従って0⁰の値を求めるには別の考察が必要となる。

有限集合X,Yを考えたとき、YからXへの写像は|X|^|Y|通り存在する。空集合から空集合への写像を表すグラフは空集合のみだから、0⁰は1であると考えられる。

0⁰が1であれば、n=0の場合にも

$\frac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^n$

が成り立つ。あるいは二項定理

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k$

がy=0やx+y=0の場合にも成り立ち、またVandermonde行列が $\bigl(x_i^j\bigr)$ と書ける。

ある数を0個足し合わせた結果は0である。それは0が加法の単位元だからである。同様に考えると、ある数を0個掛け合わせた結果は乗法の単位元1でなければならない。つまり0⁰は1であると考えられる。

xⁿはどう定義すべきであろうか。

冪に関して最も重要なのは指数法則x^m+n=x^mxⁿである。これは加法の乗法への変換だと考えられるから、x⁰=1及びxⁿ⁺¹=x·xⁿによってxⁿを定義するのが自然である。

この定義を採用する限りにおいて0⁰は1であり、それは今までの考察とも符合する。

2008年3月15日
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