4 多価性

冪の多価性を考えた場合, $\{a_k^{(x)}\}$は$\{a_k\}^x$の定数項を$1$に制限したもの, つまり主値と捉えることが出来る. $a_k^{(x)}$を定数項$1$を含む形で書けば

$$a_k^{(x)}=\sum_{\lambda\vdash k}{x \choose \vert\lambda\vert}1^{x-\vert\lambda\vert}a^{\lambda}$$

となるから, $1$の冪の多価性によって$\{a_k^{(x)}\}$に多価性が入ると期待できる. そこで整数$m$を用いて

$$a_{k,m}^{(x)}=\sum_{\lambda\vdash k}{x \choose \vert\lambda\vert}e^{2\pi i(x-\vert\lambda\vert)m}a^{\lambda}$$ (10)

と定義すると, $\{a_{k,m}^{(x)}\}\{a_{k,m}^{(y)}\}$における$t^k$の係数は

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{l=0}^{k}\left(\sum_{\mu\vdash l}{x \choose \vert\mu\ve... ... \vert\lambda\vert}e^{2\pi i(x+y-\vert\lambda\vert)m}a^{\lambda} \end{eqnarray*}$$

となって, $\{a_{k,m}^{(x+y)}\}$における$t^k$の係数に等しい. つまり, $\{a_k\}^x$の第$m$分枝は $\{a_{k,m}^{(x)}\}$によって定義できるということである.