差分和分と微分積分

近藤健一

目次

1  はじめに  2

1.1 総和と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 差分及び和分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 差分における基本的な関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 積の差分及び部分和分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2  より一般的な差分及び和分  8

2.1 3 項間漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 より一般的な差分及び和分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 降冪の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 指数関数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 三角関数及びオイラーの公式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 三角関数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7 Taylor 展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3  差分方程式  19

3.1 差分方程式とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 一階差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 二階差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 はじめに

1.1 総和と積分

総和の問題の有名な例として

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}) = 1 − \frac{1}{n + 1}

というものがある。また

∑_{k=1}^{n} k · k! = ∑_{k=1}^{n}((k + 1)! − k!) = (n + 1)! − 1

のような例もある。このことから、

S = ∑_{k=1}^{n} f(k)  (1.1)

という計算では

f(k) = F (k + 1) − F (k)  (1.2)

となる F (x) を探すのが本質的な問題になることが分かり、 F (x) が見つかれば S は

S = F (n + 1) − F (1)  (1.3)

となって F (n) の 2 つの値だけで決まってしまう。

これは F′(x) = f(x) となる関数 F (x) が見つかれば、定積分 ∫_{a}^{b} f(x)dx が簡単に求まるのと同じだと考えられる。つまり、様々な関数の微分を知っているから様々な関数の積分が簡単に実行できるのであるから、総和についても同じことが言えるはずだ、ということになる。また、そもそも積分もただの和の計算なのだから、積分に関する定理に似たものが総和の計算においてもあるのではなかろうか、とも考えられる。^{*1}

1.2 差分及び和分の定義

そこで微分演算子 D に対応するものとして、差分演算子 Δ を

Δf(x) = f(x + 1) − f(x)  (1.4)

と定義する。また ΔF (x) = f(x) のとき、不定積分に対応して不定和分 ∑ を

∑ f(x) = F (x)  (1.5)

と定義する。この定義から

Δ(kf(x) + g(x)) = kΔf(x) + Δg(x)  (1.6)

となり、したがって

∑(kf(x) + g(x)) = k ∑ f(x) + ∑ g(x)  (1.7)

*1 二項係数等の超幾何項を含む場合には全く別の方法を用いなければならない場合がある。これは不定積分は求まらないが定積分は

求まる場合がある、ということに対応するがここでは扱わない。

となることが分かる。具体的に f(x) = x(x − 1) としてみると、

Δx(x − 1) = (x + 1)x − x(x − 1) = 2x

となり、よって ∑ 2x = x(x − 1)

である。しかし f(x) = x(x − 1) + C としても

Δf(x) = Δx(x − 1) + ΔC = 2x

であるから、 ∑ 2x = x(x − 1) + C

も正しい。さらに

Δ sin 2πx = sin 2π(x + 1) − sin 2πx
= sin(2πx + 2π) − sin 2πx
= sin 2πx − sin 2πx
= 0

であるから ∑ 2x = x(x − 1) + sin 2πx

としても正しい。一般に不定和分では、不定積分における積分定数に対応するものとして定数 C や周期が 1/n (n ∈ ℕ) の関数を付け加えることができ、これらを和分定数と呼ぶ。

今度は b = a + n (n ∈ ℕ) として、定積分に対応する定和分を

∑_{a}^{a} f(x) = 0
∑_{a}^{b} f(x) = ∑_{x=a}^{b−1} f(x)  (1.8)
∑_{b}^{a} f(x) = − ∑_{a}^{b} f(x)

と定義する。この定義を通常の総和にならって ∑_{a}^{b} f(x) = ∑_{x=a}^{b} f(x) としなかったのは定積分に似せるためである。つまり、任意の a, b, c^{*2}に対して

∑_{a}^{c} f(x) + ∑_{c}^{b} f(x) = ∑_{a}^{b} f(x)  (1.9)

が成り立ち、しかも ΔF (x) = f(x) ならば a < b として

∑_{a}^{b} f(x) = ∑_{x=a}^{b−1}(F (x + 1) − F (x))
= F (b) − F (a)

*2 ただしどの 2 つをとっても差が整数でなければならない。今後特に明記しない。

となり、したがって任意の a, b に対して

∑_{a}^{b} f(x) = F (x)|_{a}^{b} = F (b) − F (a)  (1.10)

が成り立つのである。先程の例を使えば、 Δx(x − 1) = 2x であるから

∑_{a}^{b} 2x = x(x − 1)|_{a}^{b} = b(b − 1) − a(a − 1)

となり、この式の特別な場合として

∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}  (1.11)

という有名な公式が得られる。

1.3 差分における基本的な関数

一般に降冪 x\underline{n} (n ∈ ℕ) を

x\underline{n} = x(x − 1)(x − 2) ⋯ (x − n + 1)  (1.12)

と定義すると、 n > 1 であれば

Δx\underline{n} = (x + 1)x ⋯ (x − n + 2) − x(x − 1) ⋯ (x − n + 1)
= x(x − 1) ⋯ (x − n + 2)((x + 1) − (x − n + 1))
= x(x − 1) ⋯ (x − n + 2) · n
= nx\underline{n−1}

となり、微分における x^{n} に対応することが分かる。 Δx\underline{1} = 1 であるから、 x\underline{0} = 1 とすれば、 n ∈ ℕ に対して

Δx\underline{n} = nx\underline{n−1}  (1.13)

が成り立ち、よって

∑ x\underline{n} = \frac{x\underline{n+1}}{n + 1}  (1.14)

となる。降冪を使うと、例えば

x^{2} = x(x − 1) + x = x\underline{2} + x\underline{1}

であるから、

∑_{k=1}^{n} k^{2} = ∑_{1}^{n+1} (x\underline{2} + x\underline{1})
= \frac{x\underline{3}}{3} + \frac{x\underline{2}}{2} |_{1}^{n+1}
= \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)  (1.15)

のように計算できる。降冪の指数を負の整数にまで拡張してみよう。自然数 m, n に対して

x\underline{m} · (x − m)\underline{n} = x\underline{m+n}  (1.16)

が成り立つので、 m = −n とすれば x\underline{−n} · (x + n)\underline{n} = 1

であるから

x\underline{−n} = \frac{1}{(x + n)\underline{n}} = \frac{1}{(x + n)(x + n − 1) ⋯ (x + 1)}  (1.17)

となる。差分をとると

Δx\underline{−n} = \frac{1}{(x + n + 1)(x + n) ⋯ (x + 2)} − \frac{1}{(x + n)(x + n − 1) ⋯ (x + 1)}
= \frac{(x + 1) − (x + n + 1)}{(x + n + 1)(x + n) ⋯ (x + 2)(x + 1)}
= −nx\underline{−(n+1)}  (1.18)

となり、うまくいっている。よって n ≠ −1 に対して

∑ x\underline{n} = \frac{x\underline{n+1}}{n + 1}  (1.19)

が成り立つが、 n = −1 の場合はどうなるのだろうか。つまり

Δf(x) = x\underline{−1} = \frac{1}{x + 1}

のような f(x) を求めたいのだが、 x ∈ ℕ であれば調和級数の第 x 項までの和 H_{x}

H_{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{x}  (1.20)

がそれに相当することが分かる。この H_{x} を一般の x に拡張するには Γ 関数

Γ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1}dt  (1.21)

を使う。部分積分を行えば

Γ(x + 1) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x}dt
= [−e^{−t}t^{x}]_{0}^{∞} + x ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1}dt
= xΓ(x)  (1.22)

という重要な性質が得られる^{*3}。この式の両辺の対数をとって

ln Γ(x + 1) = ln x + ln Γ(x)

*3 この式からも推察されるが、 Γ(x) は x が 0 以下の整数だと有限の値を持たない。

とし、さらに微分をすれば

\frac{Γ′(x + 1)}{Γ(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{Γ′(x)}{Γ(x)}

を得る。つまり Ψ 関数

Ψ(x) = \frac{d}{dx} ln Γ(x) = \frac{Γ′(x)}{Γ(x)}  (1.23)

を定義すれば、この関数は

Ψ(x + 1) = \frac{1}{x} + Ψ(x)  (1.24)

という関係を満たす^{*4}。 n ∈ ℕ に対して Ψ(n + 1) の値は

Ψ(n + 1) = \frac{1}{n} + Ψ(n)
= \frac{1}{n} + \frac{1}{n − 1} + ⋯ + \frac{1}{2} + 1 + Ψ(1)
= H_{n} + Ψ(1)

となり、 Ψ(1) の値は Euler-Mascheroni 定数 γ

γ = lim_{n→∞}(H_{n} − ln n) = 0.5772156649 ⋯

を用いて Ψ(1) = −γ である。よって H_{n} = γ + Ψ(n + 1) であり、これをそのまま拡張すれば

H_{x} = γ + Ψ(x + 1)  (1.25)

が得られる。 H_{x} の差分は当然

ΔH_{x} = (γ + Ψ(x + 2)) − (γ + Ψ(x + 1)) = \frac{1}{x + 1}  (1.26)

となる。

以上のことから、微分における x^{n} は差分における x\underline{n} に対応し、 ln x は H_{x} に対応することが分かる。そこで指数関数に対応するものを調べるために c^{x} の差分をとってみると、

Δc^{x} = c^{x+1} − c^{x} = (c − 1)c^{x}  (1.27)

となるから、 c = 2 であれば

Δ2^{x} = 2^{x}  (1.28)

となってこれが e^{x} に対応する。また上の計算から

∑ c^{x} = \frac{c^{x}}{c − 1}  (c ≠ 1)  (1.29)

が得られ、特に

∑ 2^{x} = 2^{x}  (1.30)

である。

*4 Γ(x) と同様に、 Ψ(x) は x が 0 以下の整数だと有限の値を持たない。

1.4 積の差分及び部分和分

積の差分は

Δf(x)g(x)

= f(x + 1)g(x + 1) − f(x)g(x)
= f(x + 1)g(x + 1) − f(x)g(x + 1) + f(x)g(x + 1) − f(x)g(x)
= f(x)Δg(x) + g(x + 1)Δf(x)

となって、微分の場合とほぼ同じである。この式には一見対称性がないが、

f(x)Δg(x) + g(x + 1)Δf(x)

= f(x)Δg(x) + (g(x) + Δg(x))Δf(x)
= f(x)Δg(x) + g(x)Δf(x) + Δf(x)Δg(x)
= (f(x) + Δf(x))Δg(x) + g(x)Δf(x)
= f(x + 1)Δg(x) + g(x)Δf(x)

のように対称性は存在する。ここでずらし演算子 E

Ef(x) = f(x + 1)  (1.31)

を定義すると^{*5}、積の差分は

Δf(x)g(x) = f(x)Δg(x) + (Eg(x))Δf(x)  (1.32)

となり、両辺の和分をとれば

f(x)g(x) = ∑ f(x)Δg(x) + ∑(Eg(x))Δf(x)

となるから、部分和分の公式

∑ f(x)Δg(x) = f(x)g(x) − ∑(Eg(x))Δf(x)  (1.33)

が得られる。この公式を使えば

∑ x · 2^{x}
= x · 2^{x} − ∑ 2^{x+1}
= x · 2^{x} − 2^{x+1}

のような計算ができる。

ずらし演算子を用いると

Δ = E − 1  (1.34)

であるから、高階の差分は

Δ^{n}f(x) = (E − 1)^{n}f(x)
= ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(−1)^{k}E^{n−k}f(x)  (1.35)

となることがすぐに分かる。

*5 f(x + 1) を x 中心に Taylor 展開すると、 E = e^{D} が得られる。

2 より一般的な差分及び和分

2.1 3 項間漸化式

次節以降で必要になる 3 項間漸化式

ar_{n+2} − 2br_{n+1} + cr_{n} = 0 (a ≠ 0) (2.1)

の解法をここで示しておく。特性方程式

at^{2} − 2bt + c = 0  (2.2)

の解を α, β とおくと、上付きの添字を用いて、つまり r^{n} = r_{n} として、

(r^{1} − α)(r^{1} − β)r^{n} = 0  (2.3)

と因数分解できる。ここで r^{1} − β の括弧を外すと、

(r^{1} − α)r^{n+1} = β(r^{1} − α)r^{n}
= β^{n+1}(r^{1} − α)r^{0}

となって

r_{n+1} − αr_{n} = β^{n}(r_{1} − αr_{0})  (2.4)

が得られる。同様にして

r_{n+1} − βr_{n} = α^{n}(r_{1} − βr_{0})  (2.5)

も得られるから、もし α ≠ β であれば (2.5) から (2.4) を引くことによって

(α − β)r_{n} = α^{n}(r_{1} − βr_{0}) − β^{n}(r_{1} − αr_{0})  (2.6)

を得る。よって解は

r_{n} = \frac{r_{1} − βr_{0}}{α − β} α^{n} + \frac{r_{1} − αr_{0}}{β − α} β^{n}  (2.7)

となり、特に β = \overline{α} ならば (2.6) より

r_{n} = \frac{Im α^{n}(r_{1} − \overline{α}r_{0})}{Im α}  (2.8)

と表される。また α = β の場合は、 (2.4) より

r_{n} = αr_{n−1} + α^{n−1}(r_{1} − αr_{0})

であり、 α ≠ 0 であれば両辺を α^{n} で割って

\frac{r_{n}}{α^{n}} = \frac{r_{n−1}}{α^{n−1}} + (\frac{r_{1}}{α} − r_{0})
= r_{0} + n (\frac{r_{1}}{α} − r_{0})

となり、よって

r_{n} = (r_{0} + n (\frac{r_{1}}{α} − r_{0})) α^{n}  (2.9)

を得る。

2.2 より一般的な差分及び和分

前章で用いた差分演算子 Δ は、 x が 1 増加したときの f(x) の増分を得る演算子であるが、その拡張として x が δx ∈ ℝ \ {0} だけ増加したときの f(x) の増分を得る差分演算子 δ を

δf(x) = f(x + δx) − f(x)  (2.10)

と定義する。また δF (x) = f(x) の逆の演算として不定和分 ∑ を

∑ f(x) = F (x)  (2.11)

と定義する。例えば

δ(x^{2}) = (x + δx)^{2} − x^{2}
= (x^{2} + 2xδx + δx^{2}) − x^{2}
= 2xδx + δx^{2}

であり、よって ∑(2xδx + δx^{2}) = x^{2}

である。前章の結果も踏まえて、上の定義から

δ(kf(x) + g(x)) = kδf(x) + δg(x)  (2.12)
∑(kf(x) + g(x)) = k ∑ f(x) + ∑ g(x)  (2.13)

となり、またずらし演算子 ε

εf(x) = f(x + δx)  (2.14)

を用いて

δf(x)g(x) = f(x)δg(x) + (εg(x))δf(x)  (2.15)
∑ f(x)δg(x) = f(x)g(x) − ∑(εg(x))δf(x)  (2.16)

となることが分かる。

このように定義した δ は前章の Δ よりも微分との対応がはっきりする。つまり、 δ の定義式 (2.10) の両辺を δx で割れば

\frac{δf(x)}{δx} = \frac{f(x + δx) − f(x)}{δx}

となるから、 δx → 0 の極限において上の式は f(x) の導関数を与えるのである。さらに

∑ δf(x) = f(x)

であるから、これを変形して

∑ \frac{δf(x)}{δx}δx = f(x)

とすれば、 δx → 0 の極限では通常の不定積分

∫ \frac{df(x)}{dx}dx = f(x)

となるのである。

さて、 δ における和分定数は

δf(x) = 0  (2.17)

で特徴付けられる関数 f(x) の全体で、そのうちの任意の関数を C_{δx}(x) と表す。例えば

δ sin \frac{2πx}{δx} = sin \frac{2π(x + δx)}{δx} − sin \frac{2πx}{δx}
= sin (\frac{2πx}{δx} + 2π) − sin \frac{2πx}{δx}
= sin \frac{2πx}{δx} − sin \frac{2πx}{δx}
= 0

となるから、 sin(2πx/δx) は和分定数である。和分定数は δx ごとの値を見る限り定数であるから、

δC_{δx}(x)f(x) = C_{δx}(x + δx)f(x + δx) − C_{δx}(x)f(x)
= C_{δx}(x)f(x + δx) − C_{δx}(x)f(x)
= C_{δx}(x)(f(x + δx) − f(x))
= C_{δx}(x)δf(x)  (2.18)

のように定数と同じ役割をする。その意味で C_{δx}(x) を単に C, C_{1}, C_{2}, … のように表記することもある。最後に定和分を a, b (b = a + nδx, n ∈ ℕ) に対して

∑_{a}^{a} f(x) = 0
∑_{a}^{b} f(x) = ∑_{k=0}^{n−1} f(a + kδx)  (2.19)
∑_{b}^{a} f(x) = − ∑_{a}^{b} f(x)

と定義する。この定義に従えば、任意の a, b, c に対して

∑_{a}^{c} f(x) + ∑_{c}^{b} f(x) = ∑_{a}^{b} f(x)  (2.20)

が成り立ち、また b = a + nδx (n ∈ ℕ)、 δF (x) = f(x) とすれば

∑_{a}^{b} f(x) = ∑_{k=0}^{n−1} f(a + kδx)
= ∑_{k=0}^{n−1}(F (a + (k + 1)δx) − F (a + kδx))
= F (b) − F (a)

となるので、任意の a, b に対して

∑_{a}^{b} f(x) = F (b) − F (a)  (2.21)

が成り立つ。

2.3 降冪の定義

降冪の定義を、 n ∈ ℕ に対して

x\underline{n} = x(x − δx)(x − 2δx) ⋯ (x − (n − 1)δx)
x\underline{0} = 1  (2.22)
x\underline{−n} = \frac{1}{(x + nδx)\underline{n}}

と拡張すると、任意の整数 n に対して

δx\underline{n} = nx\underline{n−1} δx  (2.23)

となる。つまり、 x\underline{n} の増分と x の増分の間には

\frac{δx\underline{n}}{δx} = nx\underline{n−1}

という「比例」関係が成り立ち、 δx → 0 の極限では

\frac{dx^{n}}{dx} = nx^{n−1}

となる。更に一般的に、降冪を n ∈ ℕ に対して

f(x)\underline{n} = f(x)f(x − δx) ⋯ f(x − (n − 1)δx)
f(x)\underline{0} = 1  (2.24)
f(x)\underline{−n} = \frac{1}{f(x + nδx)\underline{n}}

と定義する。差分をとれば

δf(x)\underline{n} = f(x)\underline{n−1} (f(x + δx) − f(x − (n − 1)δx))  (2.25)
δf(x)\underline{−n} = f(x)\underline{n+1} (f(x + δx) − f(x + (n + 1)δx))  (2.26)

となる。例えば f(x) = ax + b とすれば

δ(ax + b)\underline{n} = (ax + b)\underline{n−1} ((ax + aδx + b) − (ax − a(n − 1)δx + b))
= an(ax + b)\underline{n−1} δx  (2.27)

となって通常の合成関数の微分と同じであるが、 f(x) が 2 次式以上の場合はきれいな形にならない。しかし δx → 0 の極限では n ∈ ℤ に対して

lim_{δx→0} f(x)\underline{n} = f(x)^{n}  (2.28)
lim_{δx→0} \frac{δf(x)\underline{n}}{δx} = nf(x)^{n−1}f′(x)  (2.29)

となり、うまく対応する。

2.4 指数関数の導出

差分における指数関数 Exp(x) は、通常の指数関数 e^{x} から考えて

δExp(x) = Exp(x)δx  (2.30)

という「比例」関係を満たす関数であるとする。 Exp(x) を具体的に求めるために、この式を

Exp(x + δx) = (1 + δx)Exp(x)

と変形する。まず x = nδx という点のみを考えると、この式は

Exp((n + 1)δx) = (1 + δx)Exp(nδx)

となり、通常の漸化式

r_{n+1} = (1 + δx)r_{n}

と同じようにして解くことができる。 r_{n} = (1 + δx)^{n}r_{0} であるから、

Exp(nδx) = (1 + δx)^{n}Exp(0)  (2.31)

となり、同様の考え方で一般に x = nδx + ξ (0 ≤ ξ < |δx|) における値は

Exp(nδx + ξ) = (1 + δx)^{n}Exp(ξ)

となることが分かる。 Exp(ξ) の値はどのように選んでも (2.30) は満たされるのだから、できるだけ Exp(x) を簡単にすることを考える。 n = x/δx を (2.31) に代入すれば

Exp(x) = (1 + δx)^{x/δx}Exp(0)

となるから、任意の x に対してこの式が成り立つように Exp(ξ) の値を選び、さらに Exp(0) = 1 という条件を加えれば

Exp(x) = (1 + δx)^{x/δx}  (2.32)

が導かれる。この Exp(x) は

δ(1 + δx)^{x/δx} = (1 + δx)^{(x+δx)/δx} − (1 + δx)^{x/δx}
= (1 + δx)^{x/δx} ((1 + δx) − 1)
= (1 + δx)^{x/δx} δx

となって確かに (2.30) を満たし、

Exp(α + β) = (1 + δx)^{(α+β)/δx}
= (1 + δx)^{α/δx}(1 + δx)^{β/δx}
= Exp(α)Exp(β)  (2.33)

のように指数法則も満たし、しかも δx → 0 の極限を考えれば e^{x} が得られるので、 (2.32) はごく自然な定義だと言える。

では一体 e^{cx} に対応する関数、つまり差分をとると cδx 倍になる関数は何であろうか。注目すべきは Exp(x) の差分を求める計算の

(1 + δx) − 1 = δx

という部分で、この δx が cδx で置き換わればよい。そこで

Exp(c; x) = (1 + cδx)^{x/δx}  (2.34)

という関数を定義すれば、この差分はうまく

δ(1 + cδx)^{x/δx} = (1 + cδx)^{(x+δx)/δx} − (1 + cδx)^{x/δx}
= (1 + cδx)^{x/δx} ((1 + cδx) − 1)
= c(1 + cδx)^{x/δx} δx

となり、しかも lim_{δx→0} Exp(c; x) = e^{cx} となる。ここで e^{ix} に対応する

Exp(i; x) = (1 + iδx)^{x/δx}  (2.35)

という関数を考えると、複素平面上で点の回転する様子がよく分かる。

2.5 三角関数及びオイラーの公式の導出

Exp(x) と同じように考えて、 Sin(x) は

δ^{2}Sin(x) = −Sin(x)δx^{2}  (2.36)

を満たす関数であるとしよう。 δ^{2}Sin(x) は

δ^{2}Sin(x) = δ(Sin(x + δx) − Sin(x))
= Sin(x + 2δx) − 2Sin(x + δx) + Sin(x)

となるから、 (2.36) を整理すれば

Sin(x + 2δx) − 2Sin(x + δx) + (1 + δx^{2})Sin(x) = 0

が得られ、 x = nδx という点だけを考えると

r_{n+2} − 2r_{n+1} + (1 + δx^{2})r_{n} = 0

という漸化式とみなせる。この漸化式の特性方程式の解 α, β は

α, β = 1 ± \sqrt{1 − (1 + δx^{2})}
= 1 ± iδx

となるから、一般項は (2.8) より

r_{n} = \frac{Im α^{n}(r_{1} − r_{0}\overline{α})}{Im α}

であり、よって Sin(x) は

Sin(x) = \frac{Im α^{x/δx}(Sin(δx) − Sin(0)\overline{α})}{Im α}

となる。 Exp(x) と同様に、任意の x に対してこの式が成り立つよう Sin(ξ) (0 ≤ ξ < |δx|) の値を選び、さらに Sin(x) の条件として

Sin(0) = 0, δSin(0) = δx ⟺ Sin(0) = 0, Sin(δx) = δx  (2.37)

を加えると、 α = 1 + iδx として

Sin(x) = \frac{Im (1 + iδx)^{x/δx}δx}{δx}
= Im (1 + iδx)^{x/δx}  (2.38)

が導かれる。 Cos(x) に関しては、条件 δ^{2}Cos(x) = −Cos(x)δx^{2} 及び

Cos(0) = 1, δCos(0) = 0 ⟺ Cos(0) = Cos(δx) = 1  (2.39)

を要求すれば、 Sin(x) と同様の考え方で

Cos(x) = \frac{Im α^{x/δx}(Cos(δx) − Cos(0)\overline{α})}{Im α}
= \frac{Im (1 + iδx)^{x/δx}iδx}{δx}
= Re (1 + iδx)^{x/δx}  (2.40)

が導かれる。 (2.38) と (2.40) から、差分においてもオイラーの公式

Exp(i; x) = Cos(x) + i Sin(x)  (2.41)

が成り立つことが分かる。

2.6 三角関数の性質

具体的に Sin(x), Cos(x) を書けば

Sin(x) = \sqrt{1 + δx^{2}} ^{x/δx} sin \frac{x tan^{−1} δx}{δx}  (2.42)
Cos(x) = \sqrt{1 + δx^{2}} ^{x/δx} cos \frac{x tan^{−1} δx}{δx}  (2.43)

となる。まず δx → 0 の極限を考えると、

lim_{δx→0} \frac{tan^{−1} δx}{δx} = lim_{δx→0} \frac{1}{1 + δx^{2}} = 1

であり、また

1 ≤ lim_{δx→0} \sqrt{1 + δx^{2}} ^{1/δx} = lim_{δx→0}(1 + δx^{2})^{δx/2δx^{2}} ≤ lim_{δx→0} e^{δx/2} = 1

であるから、

lim_{δx→0} Sin(x) = sin x, lim_{δx→0} Cos(x) = cos x  (2.44)

が成り立つ。次に偶奇性を調べてみると、

Sin(−x) = −(1 + δx^{2})^{−x/δx}Sin(x)
Cos(−x) = (1 + δx^{2})^{−x/δx}Cos(x)

となって余分な係数が付く。この係数を補正するために、

E(x) = Cos^{2}(x) + Sin^{2}(x) = |Exp(i; x)|^{2} = (1 + δx^{2})^{x/δx}  (2.45)

を用いて

E(x)Sin(−x) = −Sin(x), E(x)Cos(−x) = Cos(x)  (2.46)

とする。当然 lim_{δx→0} E(x) = 1 である。

また三角関数を一般的に

Sin(x) = c^{x} sin kx, Cos(x) = c^{x} cos kx  (2.47)

とおいて加法定理を導いてみると、

Sin(α + β) = c^{α+β} sin k(α + β)
= c^{α}c^{β}(sin kα cos kβ + cos kα cos kβ)
= (c^{α} sin kα)(c^{β} cos kβ) + (c^{α} cos kα)(c^{β} sin kβ)
= Sin(α)Cos(β) + Cos(α)Sin(β)  (2.48)
Cos(α + β) = c^{α+β} cos k(α + β)
= c^{α}c^{β}(cos kα cos kβ − sin kα sin kβ)
= (c^{α} cos kα)(c^{β} cos kβ) − (c^{α} sin kα)(c^{β} sin kβ)
= Cos(α)Cos(β) − Sin(α)Sin(β)  (2.49)

となり、通常の加法定理と同じである。しかし偶奇性の崩れから「減法定理」は

E(β)Sin(α − β) = Sin(α)Cos(β) − Cos(α)Sin(β)  (2.50)
E(β)Cos(α − β) = Cos(α)Cos(β) + Sin(α)Sin(β)  (2.51)

となる。

最後に差分をとると、

δSin(x) = Sin(x + δx) − Sin(x)
= Sin(x)Cos(δx) + Cos(x)Sin(δx) − Sin(x)
= Sin(x) + Cos(x)δx − Sin(x)
= Cos(x)δx  (2.52)
δCos(x) = Cos(x + δx) − Cos(x)
= Cos(x)Cos(δx) − Sin(x)Sin(δx) − Cos(x)
= Cos(x) − Sin(x)δx − Cos(x)
= −Sin(x)δx  (2.53)

となって通常の微分と同じである。また Exp(c; x) と同様に

Sin(c; x) = \sqrt{1 + c^{2}δx^{2}} ^{x/δx} sin \frac{x tan^{−1} cδx}{δx}  (2.54)
Cos(c; x) = \sqrt{1 + c^{2}δx^{2}} ^{x/δx} cos \frac{x tan^{−1} cδx}{δx}  (2.55)

と定義すると、

Sin(c; δx) = cδx, Cos(c; δx) = 1

であるから

δSin(c; x) = c Cos(c; x)δx, δCos(c; x) = −c Sin(c; x)δx  (2.56)

となり、また

lim_{δx→0} Sin(c; x) = sin cx, lim_{δx→0} Cos(c; x) = cos cx  (2.57)

となる。

2.7 Taylor 展開

多項式が Taylor 展開可能であるのと同様に、差分においても x\underline{n} の線形結合は「差分 Taylor 展開」が可能である。つまり

0\underline{n} = δ_{0n}  (2.58)

であるから^{*6}、

f(x) = ∑_{k=0}^{n} c_{n}x\underline{k}

とおけば

f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} \frac{δ^{n}f(0)}{δx^{n}}x\underline{n}  (2.59)

となるのだが、もちろん f(x) がそれ以外の場合でもこの式は成り立って欲しい。もし x = nδx(n ∈ ℕ) なら、

f(x) = ε^{n}f(0)
= (1 + δ)^{n}f(0)
= ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}δ^{k}f(0)
= ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} \frac{δ^{k}f(0)}{δx^{k}}x\underline{k}

となって、 (2.59) が正しいことは容易に分かるが、それ以外の場合はどうなるのだろうか。 x の冪は第 2 種スターリング数^{*7}を用いて

x^{n} = ∑_{k=0}^{n} \left\{{n \atop k}\right\}δx^{k}x\underline{k}  (2.60)

と表されるので、多項式については (2.59) が成り立つ。よって一般の関数 f(x) に対しては、 f(x) を Taylor 展開し、それをさらに差分 Taylor 展開の形に変形することを考える。簡単のために Δ = δ/δx とおくと、

f(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{D^{k}f(0)}{k!}x^{k} + R_{n+1}

*6 δ_{mn} は差分演算子ではなく Kronecker の δ で、 m = n なら 1、 m ≠ 0 なら 0 という値をとる。

*7 \left\{{n \atop m}\right\} で表され、 n 元集合を m 個の空でない部分集合に分ける方法の数である。 n < m の場合は\left\{{n \atop m}\right\} = 0 で、\left\{{0 \atop 0}\right\} = 1 である。

= ∑_{k=0}^{n} \frac{D^{k}f(0)}{k!} ∑_{m=0}^{k} \left\{{k \atop m}\right\}x\underline{m}δx^{m} + R_{n+1}
= ∑_{m=0}^{n} \frac{x\underline{m}}{m!} ∑_{k=m}^{n} \left\{{k \atop m}\right\}\frac{m!δx^{m}}{k!} D^{k}f(0) + R_{n+1}
= ∑_{m=0}^{n} \frac{x\underline{m}}{m!} Δ^{m}f(0) + ∑_{m=0}^{n} \frac{x\underline{m}}{m!} ( ∑_{k=m}^{n} \left\{{k \atop m}\right\}\frac{m!δx^{m}}{k!} D^{k}f(0) − Δ^{m}f(0)) + R_{n+1}

となるので、

lim_{n→∞} ∑_{m=0}^{n} \frac{x\underline{m}}{m!} ( ∑_{k=m}^{n} \left\{{k \atop m}\right\}\frac{m!δx^{m}}{k!} D^{k}f(0) − Δ^{m}f(0)) + R_{n+1} = 0  (2.61)

であれば、 f(x) は差分 Taylor 展開可能である。

この極限を求めるのは難しそうなので、とりあえずそのような条件を気にしないで差分 Taylor 展開をしてみる。例えば f(x) = Exp(x) とおくと、

f(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x\underline{n}}{n!} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{x/δx}{n}δx^{n}  (2.62)

という二項展開を拡張した式が得られる。具体的に x = 2δx とすれば

f(2δx) = \frac{1}{0!} + \frac{2δx}{1!} + \frac{2δx · δx}{2!} = 1 + 2δx + δx^{2}

となる。ここで

f(−δx) = \frac{1}{0!} + \frac{(−δx)}{1!} + \frac{(−δx)(−2δx)}{2!} + ⋯
= 1 − δx + δx^{2} − ⋯

となるが、これが成り立つのは |δx| < 1 の場合である。しかし Exp(−δx) = 1/(1 + δx) であるから、収束半径を気にするよりもむしろ

\frac{1}{1 + δx} = 1 − δx + δx^{2} − ⋯

という母関数と形式的冪級数の対応関係と見るべきである。つまり、差分 Taylor 展開は母関数からそれに対応する一連の形式的冪級数を得る方法の一つであると言える。例えば

Cosh(x) = \frac{Exp(1 ; x) + Exp(−1 ; x)}{2}  (2.63)
= ∑_{n=0}^{∞} \frac{x\underline{2n}}{(2n)!}  (2.64)

であるから、 (2.64) の母関数は Cosh(x) であり、 x = −nδx (n ∈ ℕ) を代入することで

\frac{1}{1 − δx^{2}} = 1 + δx^{2} + δx^{4} + ⋯
\frac{1 + δx^{2}}{(1 − δx^{2})^{2}} = 1 + 3δx^{2} + 5δx^{4} + ⋯
⋮

といった式が得られる。一つ注意しなければならないのは、和分定数やそれに類するものを展開しても正しい式が得られない場合があるということである。例えば

f(x) = sin \frac{2πx}{δx}

とおくと、

∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} \frac{δ^{n}f(0)}{δx^{n}}x\underline{n} = 0

となるが、 f(x) は恒等的には 0 でないので、差分 Taylor 展開不可能である。このようなことが起こるのは、差分 Taylor 展開は差分という演算に対する関数の振舞のみを写し取り、関数の値には頓着しないからである。

3 差分方程式

3.1 差分方程式とは

差分方程式という言葉は通常漸化式と同じ意味で使われるが、ここでは

\frac{δf(x)}{δx} − f(x) = 0  (3.1)

のように差分演算子 δ を用いた関数の方程式という意味で使い、 a_{n+1} − 2a_{n} = 0

のような漸化式とは区別する。しかし、 Exp(x) や Cos(x), Sin(x) を求めたように、 (3.1) を f(x + δx) − (1 + δx)f(x) = 0

と変形すればほぼ漸化式であるから、差分方程式は漸化式と確かに同じものである。それなのに何故区別をするのかというと、次節以降で見るように差分方程式の方が漸化式よりも解が簡単に表されるからである。一方、 (3.1) において δx → 0 の極限を考えれば

f′(x) − f(x) = 0

となるから、差分方程式は微分方程式と同じとも言える。つまり、漸化式も微分方程式も差分方程式も実は同じものであり、 δx の値が少し違うだけなのである。

さて、最も簡単な差分方程式は

\frac{δf(x)}{δx} = 0

である。解は差分をとって 0 になる関数であるから、 f(x) = C_{δx}(x) である。一般的に、差分方程式

\frac{δf(x)}{δx} = g(x)

の解は、分母を払って両辺の和分をとれば

f(x) = ∑ g(x)δx + C_{δx}(x)

となるが、定義を述べているようなものなので余り面白くない。面白いのは

\frac{δf(x)}{δx} − 2f(x) = 0

\frac{δ^{2}f(x)}{δx^{2}} − 4\frac{δf(x)}{δx} + 3f(x) = 0

のように f(x), δf(x), δ^{2}f(x), … で差分方程式が構成されている場合である。差分方程式が面白いかどうかを代数方程式に喩えるなら、

x = a

は確かに方程式とは言えるが解は自明であるのに対し、 ax + b = 0, ax^{2} + bx + c = 0, …

のような方程式の解はちょっとした計算をしなければ求まらない、ということになる。

3.2 一階差分方程式

まず f(x) と δf(x) を含んだ差分方程式、つまり一階差分方程式

a\frac{δf(x)}{δx} − bf(x) = 0 (a ≠ 0) (3.2)

を解くことを考える。この式を整理すれば

af(x + δx) − (a + bδx)f(x) = 0  (3.3)

となるから、 (3.2) と (3.3) から 2 つの特性方程式

at − b = 0  (3.4)
at′ − (a + bδx) = 0  (3.5)

が得られる。方程式の解をそれぞれ α, α′ とすると、

α = \frac{b}{a}  (3.6)
α′ = 1 + \frac{b}{a}δx  (3.7)

であるから

α′ = 1 + αδx  (3.8)

という関係が成り立つ。この α′ を用いると、 (3.3) は

f(x + δx) = α′f(x)

となるから、 x = nδx + ξ (0 ≤ ξ < |δx|) における解は

f(x) = α^{′n}f(ξ)

となり、 n を消去して α′ = 1 + αδx を代入すれば

f(x) = (1 + αδx)^{(x−ξ)/δx}f(ξ)
= (1 + αδx)^{x/δx} \frac{f(ξ)}{(1 + αδx)^{ξ/δx}}

が得られる。ここで、もし x が δx 増えたとしても ξ の値は変わらず^{*8}、よって f(ξ)/(1 + αδx)^{ξ/δx} の値も変わらない。つまり

\frac{f(ξ)}{(1 + αδx)^{ξ/δx}} = C_{δx}(x)

であり、また

(1 + αδx)^{x/δx} = Exp(α; x)

であるから、結局 (3.2) の一般解は

f(x) = C_{δx}(x)Exp(α; x)  (3.9)

のように簡単な形となる。

*8 ξ は x の関数である。

3.3 二階差分方程式

次に f(x), δf(x), δ^{2}f(x) を含む二階差分方程式

a\frac{δ^{2}f(x)}{δx^{2}} − 2b\frac{δf(x)}{δx} + cf(x) = 0  (a ≠ 0)  (3.10)

を解くことを考える。 f(x) の 2 階差分は

δ^{2}f(x) = f(x + 2δx) − 2f(x + δx) + f(x)

であるから、 (3.10) を整理すれば

af(x + 2δx) − 2(a + bδx)f(x + δx) + (a + 2bδx + cδx^{2})f(x) = 0

となり、 2 つの特性方程式

at^{2} − 2bt + ct = 0  (3.11)
at^{′2} − 2(a + bδx)t′ + (a + 2bδx + cδx^{2}) = 0  (3.12)

が得られる。これらの方程式を解くと

t = \frac{b ± \sqrt{b^{2} − ac}}{a}  (3.13)
t′ = \frac{(a + bδx) ± \sqrt{(a + bδx)^{2} − a(a + 2bδx + cδx^{2})}}{a}
= \frac{(a + bδx) ± δx\sqrt{b^{2} − ac}}{a}
= 1 + \frac{b ± \sqrt{b^{2} − ac}}{a}δx  (3.14)

が得られ、複号同順とすれば

t′ = 1 + tδx  (3.15)

という関係が成り立つ。

t の値を複号に応じて α, β とおき、それに対応して t′ の値を α′, β′ とおく。 α ≠ β の場合、 x = nδx + ξ (0 ≤ ξ < |δx|) における値は

f(x) = \frac{f(ξ + δx) − β′f(ξ)}{α′ − β′}α^{′n} + \frac{f(ξ + δx) − α′f(ξ)}{β′ − α′}β^{′n}
= \frac{f(ξ + δx) − β′f(ξ)}{(α′ − β′)α^{′ξ/δx}}α^{′x/δx} + \frac{f(ξ + δx) − α′f(ξ)}{(β′ − α′)β^{′ξ/δx}}β^{′x/δx}

であるから、一般解は

f(x) = C_{1}Exp(α; x) + C_{2}Exp(β; x)  (3.16)

となる。 α = β の場合は

f(x) = (f(ξ) + n (\frac{f(ξ + δx)}{α′} − f(ξ))) α^{′n}
= (f(ξ) + \frac{x − ξ}{δx} (\frac{f(ξ + δx)}{α′} − f(ξ))) \frac{α^{′x/δx}}{α^{′ξ/δx}}

であるから、一般解は

f(x) = (C_{1} + C_{2}x)Exp(α; x)  (3.17)

となる。

参考文献

[1] 高瀬正仁, 『dx と dy の解析学』 , 日本評論社, 2000.

[2] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, ”Concrete Mathematics”, Second Edition, Addison-Wesley, 1994.

[3] Eric Weisstein, ”Eric Weisstein’s World of Mathematics”, http://mathworld.wolfram.com/